Умножение матриц

Умножение матрицA x B = C

Это, наверное, самая важная операция над матрицами, детали которой, к сожалению, иногда выветриваются из головы. Вот шпаргалка в виде тезисов:

  • A_{m \times p} \times B_{p \times n} = C_{m \times n}
  • количество столбцов левой матрицы должно совпадать с количеством строк правой
  • результирующая матрица имеет то-же количество строк, что и в левой матрице, а столбцов- что и в правой
  • c_{i, j} = \sum_{1..p}^{r} a_{i, r} \cdot b_{r, j} каждый элемент результирующей матрицы- это скалярное произведение соответствующего вектора-строки левой матрицы и вектора-столбца правой
  • B \times A = (A \times B)^{T} Умножение матриц не коммутативно
  • матрица- это некая линейная трансформация (например, поворот или масштабирование)
  • умножение матрицы на вектор-столбец — это применение этой трансформации к вектору
  • умножение двух матриц дает новую матрицу- комбинацию двух трансформаций
  • при умножении на квадратную матрицу, ненулевые элементы которой располагаются только на главной диагонали, левую матрицу можно рассматривать как группу векторов-строк, элементы главной диагонали- как масштабирующие коэффициенты для осей векторов, а результирующая матрица- это группа масштабированных по осям векторов
  • I (или E) матрица идентичности (или единичная матрица) — матрица, главная диагональ которой заполнена единицами, а остальные элементы- нули. Умножение на такую матрицу дает исходную без изменений
  • A \times A^{-1} = I если умножить матрицу на обратную ей, то получим матрицу идентичности. Обратная матрица— это трансформация в обратную сторону.

PS: Спасибо, что читаете!
Ваши замечания и предложения оставляйте в комментариях.

Запись опубликована в рубрике На заметку. Добавьте в закладки постоянную ссылку.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *